Question

【題目】我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”(如圖)，此圖揭示了(a＋b)n(n為非負(fù)整數(shù))展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．例如：(a＋b)0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；(a＋b)1＝a＋b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8……

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

(1)(a＋b)4的展開式共有多少項(xiàng)，系數(shù)分別為多少；

(2)寫出(a＋b)5的展開式；

(3)(a＋b)n的展開式共有多少項(xiàng)，系數(shù)和為多少．

Answer 1

【答案】(1)5；　1，4，6，4，1；(2)a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；(3)(n＋1)；　2n.

【解析】

（1）本題通過(guò)閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項(xiàng)系數(shù)都是1，中間各項(xiàng)系數(shù)等于（a+b）n-1相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)和．因此可得（a+b）4的各項(xiàng)系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；
（2）由（1）得出的規(guī)律，即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)題意得出（a+b）n展開式共有（n+1）項(xiàng)，當(dāng)a=b=1時(shí)，（a+b）n=2n即可．

解：（1）根據(jù)題意知，（a+b）4的展開后，共有5項(xiàng)，
各項(xiàng)系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；

（2）根據(jù)題意得：（a+b）5的展開式為a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

（3）根據(jù)題意得：(a＋b)n的展開式共有（n+1）項(xiàng)

當(dāng)a=b=1時(shí)，（a+b）n=2n．

即：(a＋b)n的展開式系數(shù)和為2n．