【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對角線AC上任意一點,F(xiàn)是線段BC延長線上一點,且CF=AE,連接BE、EF.

(1)如圖1,當E是線段AC的中點時,求證:BE=EF.

(2)如圖2,當點E不是線段AC的中點,其它條件不變時,請你判斷(1)中的結論是否成立?若成立,請證明;若不成立,說明理由.

【答案】(1)詳見解析;(2)結論成立理由詳見解析.

【解析】

(1)由四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,可知△ABC是等邊三角形,因為E是線段AC的中點,所以∠CBE=ABE=30°,AE=CE,AE=CFCE=CF可知∠CEF=∠F由∠ACF=120°可知∠F=30°∴∠F=∠CBE=30°。即可證明BE=EF.(2)過點EEGBCAB于點G,可得∠AGE=ABC=60°,因為∠BAC=60°,所以△AGE是等邊三角形,可知AG=AE=GE,∠AGE=60°,可知BG=CE,因為CF=AE,所以GE=CF,進而可證明△BGE≌△ECF,即可證明BE=EF.

1)∵四邊形ABCD是菱形,

AB=BC,

∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠BCA=60°,

E是線段AC的中點,

∴∠CBE=ABE=30°,AE=CE,

CF=AE,

CE=CF,

∵∠ECF=120°,

∴∠F=∠CEF=30°

∴∠CBE=F=30°,

BE=EF;

(2)結論成立;理由如下:

過點EEGBCAB于點G,如圖2所示:

∵四邊形ABCD為菱形,

AB=BC,BCD=120°,ABCD,

∴∠ACD=60°,DCF=ABC=60°,

∴∠ECF=120°,

又∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

AB=AC,ACB=60°,

又∵EGBC,

∴∠AGE=ABC=60°,

又∵∠BAC=60°,

∴△AGE是等邊三角形,

AG=AE=GE,AGE=60°,

BG=CE,,

又∵CF=AE,

GE=CF,

∵在△BGE和△CEF中,BG=CE,∠BGE=∠ECF,GE=CF,

∴△BGE≌△ECF(SAS),

BE=EF.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分ABBC于點E,BE=4,則AC長為( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 以上都不對

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).

(1)將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°,畫出旋轉后對應的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應點A2的坐標為(0,﹣4),畫出平移后對應的△A2B2C2;
(2)若將△A1B1C繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2;請直接寫出旋轉中心的坐標;
(3)在x軸上有一點P,使得PA+PB的值最小,請直接寫出點P的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( , )和B(4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點P作PC⊥x軸于點D,交拋物線于點C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
(3)求△PAC為直角三角形時點P的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知五邊形ABCDE 是⊙O 的內接正五邊形,且⊙O 的半徑為1.則圖中陰影部分的面積是(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】閱讀下列材料:

關于x的方程:的解是,;的解是的解是,;的解是;

請觀察上述方程與解的特征,比較關于x的方程與它們的關系,猜想它的解是什么?并利用“方程的解”的概念進行驗證.

由上述的觀察、比較、猜想、驗證,可以得出結論:

如果方程的左邊是未知數(shù)與其倒數(shù)的倍數(shù)的和,方程的右邊的形式與左邊完全相同,只是把其中的未知數(shù)換成了某個常數(shù),那么這樣的方程可以直接得解,請用這個結論解關于x的方程:

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知一次函數(shù)滿足下列條件,分別求出,的取值范圍.

使得增加而減。

使得函數(shù)圖象與軸的交點在軸的上方.

使得函數(shù)圖象經(jīng)過一、三、四象限.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,已知點A(O,1),B(1,2),點P在軸上運動,當點P到A、B兩點的距離之差的絕對值最大時,該點記為點P1,當點P到A、B兩點的距離之和最小時,該點記為點P2,以P1P2為邊長的正方形的面積為

A. 1 B. C. D. 5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)經(jīng)過點A(4,﹣5),與x軸的負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=5OB,拋物線的頂點為點D.

(1)求這條拋物線的表達式;
(2)連結AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積;
(3)如果點E在y軸的正半軸上,且∠BEO=∠ABC,求點E的坐標.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案