Question

（2004•湖州）如圖，H是⊙O的內(nèi)接銳角△ABC的高線AD、BE的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A引⊙O的切線，與BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，若AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-6x+36（cos²C-cosC+1）=0的實(shí)數(shù)根．
（1）求：∠C=______度；AB的長(zhǎng)等于______

Answer 1

【答案】分析：（1）關(guān)于x的方程有實(shí)根，則△=（-6）²-4×1×36（cos²C-cosC+1）≥0，化簡(jiǎn)得：（2cosC-1）²≤0，只有2cosC-1=0，則∠C=60°，此時(shí)方程有相等的根，AB+AB=6；
（2）已知∠C=60°，則再證明△ABC中一個(gè)角為60°，則可知△ABC為等邊三角形．
解答：解：（1）∠C=60°，AB=3；

（2）結(jié)論：△ABC是等邊三角形（1分）
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠P+∠PAC=∠BAD+∠ABC=90°
又∵PA切⊙O于A，
∴∠PAC=∠ABC
∴∠P=∠BAD
而∠PBA=∠ABH，
∴△PBA∽△ABH
∴
∴當(dāng)PB=9時(shí)，BH=（2分）
在Rt△BHD中，BD=BH•cos30°=
在Rt△ABD中，cos∠ABD=，
∴∠ABD=60°
即∠ABC=60°
∵∠C=60°
∴△ABC是等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題作為壓軸題，綜合考查函數(shù)、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題是一個(gè)大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì)．