Question

【題目】某電子廠(chǎng)商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷(xiāo)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y＝﹣2x+100．（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣制造成本）

（1）寫(xiě)出每月的利潤(rùn)z（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，廠(chǎng)商每月能獲得350萬(wàn)元的利潤(rùn)？當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，廠(chǎng)商每月能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

（3）根據(jù)相關(guān)部門(mén)規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)不能高于32元，如果廠(chǎng)商要獲得每月不低于350萬(wàn)元的利潤(rùn)，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬(wàn)元？

Answer 1

【答案】（1）z＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）25元或43元；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為34元時(shí)，每月能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是512萬(wàn)元；（3）648萬(wàn)元．

【解析】

（1）根據(jù)每月的利潤(rùn)z＝（x﹣18）y，再把y＝﹣2x+100代入即可求出z與x之間的函數(shù)解析式，

（2）把z＝350代入z＝﹣2x2+136x﹣1800，解這個(gè)方程即可，把函數(shù)關(guān)系式變形為頂點(diǎn)式運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；

（3）根據(jù)銷(xiāo)售單價(jià)不能高于32元，廠(chǎng)商要獲得每月不低于350萬(wàn)元的利潤(rùn)得出銷(xiāo)售單價(jià)的取值范圍，進(jìn)而解決問(wèn)題．

（1）z＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，

∴z與x之間的函數(shù)解析式為z＝﹣2x2+136x﹣1800；

（2）由z＝350，得350＝﹣2x2+136x﹣1800，

解這個(gè)方程得x1＝25，x2＝43，

所以，銷(xiāo)售單價(jià)定為25元或43元，

將z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z＝﹣2（x﹣34）2+512，

因此，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為34元時(shí)，每月能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是512萬(wàn)元；

（3）結(jié)合（2）及函數(shù)z＝﹣2x2+136x﹣1800的圖象（如圖所示）可知，

當(dāng)25≤x≤43時(shí)z≥350，

又由限價(jià)32元，得25≤x≤32，

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y＝﹣2x+100中y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x＝32時(shí)，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）＝648（萬(wàn)元），

因此，所求每月最低制造成本為648萬(wàn)元．