Question

【題目】如圖，矩形的邊，，點從點出發(fā)，沿射線移動，以為直徑作圓，點為圓與射線的公共點，連接，過點作，與圓相交于點， 連接．

（1）試說明四邊形是矩形；

（2）當圓與射線相切時，點停止移動，在點移動的過程中:

①矩形的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由；

②求點移動路線的長．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）①最小值為；最大值為2；②cm．

【解析】

試題（1）只要證得三個內角等于90°即可；

（2）①應用三角函數可得，所以，然后只需求出CF的范圍就可以求出的范圍；

②根據圓周角定理和矩形的性質可證得∠GDC=∠FDE=定值，從而得到點G的移動的路線是線段，只需找到點G的起點和終點，求出該線段的長度即可．

試題解析：（1）∵CE是⊙O的直徑，點F、G在⊙O上，∴∠EFC=∠EGC=90°，

又∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°，∴四邊形EFCG是矩形；

（2）①∵四邊形EFCG是矩形，∴∠BCD=90°，∴，

∵∠CEF=∠BDC，∴=，即，∴，

∴，

∵當點F與點B重合時，CF=BC=4；

當⊙O與射線BD相切時，點F與點D重合，

此時CF=CD=3；

當CF⊥BD時，，

∴，

∴當CF=cm時，取得最小值為，

當CF=4cm時，取得最大值為2．

②如答圖4，連接DG，并延長DG交BC得延長線與點G’．

∵∠BDG=∠FEG=90°，又∵∠DCG’=90°，∴點G得移動路線為線段DG’,

∵CD=3cm，∴CG’=，∴DG’=（cm）．