如圖,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(3,3).
(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B(6,m),求m的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式;
(3)第(2)問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D,求過A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式;
(4)在第(3)問的條件下,二次函數(shù)在第一象限的圖象上是否存在點(diǎn)E,使四邊形OECD的面積S1與四精英家教網(wǎng)邊形OABD的面積S滿足:S1=
23
S?若存在,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式,用待定系數(shù)發(fā)解答;
(2)因?yàn)锽點(diǎn)為三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn),將B(6,m)代入已知函數(shù)y=
9
x
,即可求得m的值;根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)平行,可知二者比例系數(shù)相同,再用待定系數(shù)法求出b的值;
(3)A、B坐標(biāo)已求出,D點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)一次函數(shù)解析式求得;
(4)畫出圖形,根據(jù)已知各點(diǎn)坐標(biāo),求出相應(yīng)線段長.由于四邊形不規(guī)則,故將其面積轉(zhuǎn)化為矩形面積與三角形面積的差或幾個(gè)三角形面積的和.
解答:解:(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=k1x(k1≠0),
因?yàn)閥=k1x的圖象過點(diǎn)A(3,3),
所以3=3k1,解得k1=1.
這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為y=x.
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=
k2
x
(k2≠0),
因?yàn)閥=
k2
x
的圖象過點(diǎn)A(3,3),
所以3=
k2
3
,
解得k2=9.
這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=
9
x
.(2分)

(2)因?yàn)辄c(diǎn)B(6,m)在y=
9
x
的圖象上,
所以m=
9
6
=
3
2
,
則點(diǎn)B(6,
3
2
).(3分)
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=k3x+b(k3≠0),
因?yàn)閥=k3x+b的圖象是由y=x平移得到的,
所以k3=1,即y=x+b.
又因?yàn)閥=x+b的圖象過點(diǎn)B(6,
3
2
),
所以
3
2
=6+b,
解得b=-
9
2
,
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-
9
2


(3)因?yàn)閥=x-
9
2
的圖象交y軸于點(diǎn)D,
所以D的坐標(biāo)為(0,-
9
2
).
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).
因?yàn)閥=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A(3,3)、B(6,
3
2
)、和D(0,-
9
2
),
所以
9a+3b+c=3
36a+6b+c=
3
2
c=-
9
2

解得
a=-
1
2
b=4
c=-
9
2

這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-
1
2
x2+4x-
9
2
.(6分)

(4)∵y=x-
9
2
交x軸于點(diǎn)C,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(
9
2
,0),
如圖所示,連接OE,CE,過點(diǎn)A作AF∥x軸,交y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BH∥y軸,交AF于點(diǎn)H,過點(diǎn)D作DG∥x軸,交直線BH于點(diǎn)G,則S=
15
2
×6-
1
2
×6×6-
1
2
×
3
2
×3-
1
2
×3×3=45-18-
9
4
-
9
2
=
81
4

假設(shè)存在點(diǎn)E(x0,y0),使S1=
2
3
S=
81
4
×
2
3
=
27
2

∵四邊形CDOE的頂點(diǎn)E只能在x軸上方,精英家教網(wǎng)
∴y0>0,
∴S1=S△OCD+S△OCE=
1
2
×
9
2
×
9
2
+
1
2
×
9
2
y0
=
81
8
+
9
4
y0

81
8
+
9
4
y0=
27
2
,
y0=
3
2
.(7分)
∵E(x0,y0)在二次函數(shù)的圖象上,
-
1
2
x
2
0
+4x0-
9
2
=
3
2

解得x0=2或x0=6.
當(dāng)x0=6時(shí),點(diǎn)E(6,
3
2
)與點(diǎn)B重合,這時(shí)CDOE不是四邊形,故x0=6舍去,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,
3
2
).(8分)
點(diǎn)評(píng):此題將初中所學(xué)三個(gè)主要函數(shù):一次函數(shù)(含正比例函數(shù))、反比例函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合起來,考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系及不規(guī)則圖形面積的求法,綜合性較強(qiáng),難度適中.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=
kx
的圖象交于點(diǎn)A(3,2)
(1)求上述兩函數(shù)的表達(dá)式;
(2)M(m,n)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中0<m<3,過點(diǎn)M作直線MB∥x軸,交y軸于點(diǎn)B;過點(diǎn)A點(diǎn)作直線AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C,交直線MB于點(diǎn)D.若s四邊形OADM=6,求點(diǎn)M的坐標(biāo),并判斷線段BM與DM的大小關(guān)系,說明理由;
(3)探索:x軸上是否存在點(diǎn)P.使△OAP是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo); 若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正比例函數(shù)y=3x與反比例函數(shù)y=
kx
(k≠0)
的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)A的橫坐精英家教網(wǎng)標(biāo)為1,過點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為M,連接BM.
求:(1)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;
(2)△ABM的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2
3
,a),過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,△A0B的面積為4
3

(1)求k和a的值;
(2)若一次函數(shù)y=nx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,并且與X軸相交于點(diǎn)M,問:在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得以三點(diǎn)P、A、M組成的三角形AMP為等腰三角形?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(3,3).
(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B(6,m),求m的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式;
(3)第(2)問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D,求過A、B、D三點(diǎn)的三角形的面積.

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