Question

已知長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上且AE=BC，F(xiàn)為EB的中點(diǎn)，M為AD邊的一個(gè)三等分點(diǎn)．
（1）畫(huà)出相應(yīng)圖形，并求出圖中線(xiàn)段的條數(shù)；
（2）若圖中所有線(xiàn)段的長(zhǎng)均為整數(shù)，且這些長(zhǎng)度之和為39，求長(zhǎng)方形ABCD的面積；
（3）若點(diǎn)G、H在邊DC上，N在BC上，且BN=AM，DG=AE，CH=BF，分別連接MN、EG、FH．求所得圖形中所有長(zhǎng)方形的面積的和．

Answer 1

分析：（1）任意兩點(diǎn)都可以組成一條線(xiàn)段，所以n條線(xiàn)段可以組成

n(n-1)

2

條線(xiàn)段．
（2）根據(jù)題意列出二元一次方程組，再根據(jù)求二元一次方程的正整數(shù)解解答．
（3）根據(jù)圖形，把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別計(jì)算出來(lái)，然后計(jì)算出所求長(zhǎng)方形的面積．

解答：解：（1）∵AB邊上共有4個(gè)點(diǎn)，
∴

n(n-1)

2

=

4(4-1)

2

=6，
∴AB邊上共有6條線(xiàn)段；
∵AD邊上共有3個(gè)點(diǎn)，
∴

n(n-1)

2

=

3(3-1)

2

=3，
∴AB邊上共有3條線(xiàn)段，
DC邊上共有1條線(xiàn)段，BC邊上共有1條線(xiàn)段，
6+3+1+1=11（條），
故共11條線(xiàn)段．

（2）根據(jù)題意設(shè)AE=BC=x，EF=FB=y，
AB邊上共有6條線(xiàn)段，長(zhǎng)度和AE+AF+AB+EF+EB+FB=3x+7y，
AD邊上共有3條線(xiàn)段，長(zhǎng)度和為AM+AD+MD=2x，
BC=x，DC=x+2y，
以上11條線(xiàn)段的長(zhǎng)度和為7x+9y，得，
7x+9y=39，
因?yàn)樗�有線(xiàn)段的長(zhǎng)均為整數(shù)，
解得：x=3，y=2，
ABCD的面積為7×3=21．

（3）所有長(zhǎng)的和為3+5+7+2+4+2=23，
所有寬的和1+2+3=6，
所有長(zhǎng)方形的面積和為6×23=138．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二元一次方程整數(shù)解的求法，數(shù)形結(jié)合的方法經(jīng)常是解決一些幾何問(wèn)題的常用方法．