Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∠POC=∠PCE．
（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑；
（3）求sin∠PCA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證PC是⊙O的切線(xiàn)，只要證∠PCO=90°即可；
（2）相似三角形的性質(zhì)及勾股定理求出⊙O的半徑；
（3）求出CE的長(zhǎng)，BE的長(zhǎng)，BC的長(zhǎng)，切線(xiàn)的性質(zhì)知∠PCA=∠B，求出Sin∠B，即為所求．
解答：（1）證明：∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠CEP=90°．
∵∠POC=∠PCE，∠P=∠P，
∴△POC∽△PCE，
∴∠PCO=∠CEP=90°．
∴PC是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵OE：EA=1：2，
∴OE：OC=，OC：OP=．
∵PA=6，
∴⊙O的半徑=3．

（3）解：連接BC；
∵圓的半徑為3，OE：EA=1：2，
∴OE=1，
∴EC=2，BE=4；
∴BC=2．
∵∠PCA=∠B，
∴sin∠B=sin∠PCA==．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理及切線(xiàn)的判定．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．