Question

拋物線y=x²﹣x+2與x軸交于A，B兩點（OA＜OB），與y軸交于點C．

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點E也從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設點P的運動時間為t秒（0＜t＜2）．

①過點E作x軸的平行線，與BC相交于點D（如圖所示），當t為何值時，+的值最小，求出這個最小值并寫出此時點E，P的坐標；

②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）在拋物線的解析式中，令y=0，即x²﹣x+2=0，

解得：x₁=2，x₂=4，∵OA＜OB，

∴A（2，0），B（4，0），

在拋物線的解析式中，令x=0，得y=2，

∴C（0，2），

（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，

∵DE∥OB，

∴△CDE∽△CBO，

∴，即，

∴DE=4﹣2t，

∴，

∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）²始終為正數(shù)，且t=1時，1﹣（t﹣1）²有最大值1，

∴t=1時，有最小值1，

即t=1時，有最小值1，此時OP=2，OE=1，

∴E（0，1），P（2，0）；

②存在，

∵拋物線y=x²﹣x+2的對稱軸方程為x=3，

設F（3，m），

∴EP²=5，PF²=（3﹣2）²+m²，EF²=（m﹣1）²+3²，

當△EFP為直角三角形時，

①當∠EPF=90°時，

EP²+PF²=EF²，

即5+1+m²=（m﹣1）²+3²，

解得：m=2，

②當∠EFP=90°時，

EF²+FP²=PE²，

即（m﹣1）²+3+（3﹣2）²+m²=5，

解得；m=0或m=1，不合題意舍去，

∴當∠EFP=90°時，

這種情況不存在，

③當∠PEF=90°時，

EF²+PE²=PF²，

即（m﹣1）²+3²+5=（3﹣2）²+m²，

解得：m=7，

∴F（3，2），（3，7）．