Question

已知MN∥EF∥BC，點(diǎn)A、D為直線MN上的兩動(dòng)點(diǎn)，AD=a，BC=b．
（1）當(dāng)點(diǎn)A、D重合，即a=0時(shí)（如圖1），試求EF．（用含m，n，b的代數(shù)式表示）
（2）請直接應(yīng)用（1）的結(jié)論解決下面問題：當(dāng)A、D不重合，即a≠0，
①如圖2這種情況時(shí)，試求EF．（用含a，b，m，n的代數(shù)式表示）
②如圖3這種情況時(shí)，試猜想EF與a、b之間有何種數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．

Answer 1

（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AE

AB

，（1分）
∵

AE

BE

=

m

n

，
∴

AE

AB

=

m

m+n

，（1分）
又BC=b，
∴

EF

b

=

m

m+n

，
∴EF=

mb

m+n

；（1分）

（2）①如圖2，連接BD，與EF交于點(diǎn)H，
由（1）知，HF=

mb

m+n

，EH=

na

m+n

，（2分）
∵EF=EH+HF，
∴EF=

mb+na

m+n

；（1分）

②猜想：EF=

mb-na

m+n

，（1分）
證明：連接DE，并延長DE交BC于G，
由已知得：BG=

na

m

，（1分
EF=

mGC

m+n

，（1分）
∵GC=BC-BG，
∴EF=

m

m+n

（BC-BG）=

m

m+n

(b-

na

m

)=

mb-na

m+n

．