Question

已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c經過直線y=-x+3與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點M為拋物線上的一個動點，求使得△ABM的面積與△ABD的面積相等的點M的坐標．

Answer 1

解：（1）直線y=-x+3與坐標軸的兩個交點坐標分別是
A（3，0），B（0，3），
拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點，
c=3
-9+3b+c=0，
得到b=2，c=3，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3．

（2）①作經過點D與直線y=-x+3平行的直線交拋物線于點M．

則S_△ABM=S_△ABD，
直線DM的解析式為y=-x+t．
由拋物線解析式y(tǒng)=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
得D（1，4），
∴t=5．
設M（m，-m+5），
則有-m+5=-m²+2m+3，
解得m=1（舍去），m=2．
∴M（2，3）．
②易求直線DM關于直線y=-x+3對稱的直線l的解析式為y=-x+1，l交拋物線于M．
設M（m，-m+1）．
由于點M在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-m+1=-m²+2m+3．
解得m=，m=
∴M（，-）或M（，）
∴使△ABM的面積與△ABD的面積相等的點M的坐標分別是
（2，3），（，-），（，）．
分析：（1）先根據直線y=-x+3求出A、B兩點的坐標，然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數的值．
（2）根據（1）中拋物線的解析式可求出C，D兩點的坐標，由于△ABM和△ABD同底，因此面積比等于高的比，即M點縱坐標的絕對值：D點縱坐標的絕對值=5：4．據此可求出P點的縱坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出M點的坐標．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法、圖形面積的求法等知識點．考查了學生數形結合的數學思想方法．