【題目】在△OAB,△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.
(1)若O、C、A在一條直線上,連AD、BC,分別取AD、BC的中點M、N如圖(1),求出線段MN、AC之間的數(shù)量關系;
(2)若將△OCD繞O旋轉到如圖(2)的位置,連AD、BC,取BC的中點M,請?zhí)骄烤段OM、AD之間的關系,并證明你的結論;
(3)若將△OCD由圖(1)的位置繞O順時針旋轉角度α(0°<α<360°),且OA=4,OC=2,是否存在角度α使得OC⊥BC?若存在,請直接寫出此時△ABC的面積;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)MN=AC.(2)OM=AD,OM⊥AD.詳見解析;(3)6+2或6﹣2.
【解析】
(1)如圖1中,作BH⊥OB,AH⊥OA,連接OM延長OM交BH于P,連接ON延長ON交AH于Q,連接PQ.只要證明MN是△OPQ的中位線,AC=HQ=HP即可解決問題;
(2)結論:OM=AD,OM⊥AD.如圖2中,延長OM到H,使得MH=OM,設AD交OH于G,交OB于K.想辦法證明△OBH≌△AOD即可解決問題;
(3)分兩種情形①如圖3中,當OC⊥BC設,作CH⊥OAY于H.S△ABC=S△AOB-S△AOC-S△BOC計算即可;
(1)如圖1中,作BH⊥OB,AH⊥OA,連接OM延長OM交BH于P,連接ON延長ON交AH于Q,連接PQ.
∵OA=OB,∠AOB=∠OAH=∠OBH=90°,
∴四邊形OAHB是正方形,
∵CM=MB,
∴OM=MB,
∴∠MBO=∠MOB,
∵∠MBO+∠MBP=90°,∠MOB+∠MPB=90°,
∴∠MBP=∠MPB,
∴BM=PM=OM,
同理可證ON=NQ,
∴MN=PQ,
∵MC=MB,MO=MP,∠CMO=∠PMB,
∴△CMO≌△BMP,
∴PB=OC,同理可證AQ=OD,
∵OC=OD,
∴AQ=PB=OC=OD,
∵OA=OB=AH=BH,
∴AC=BD=PH=QH,
∵PQ=PH=AC,
∴MN=AC.
(2)結論:OM=AD,OM⊥AD.
理由:如圖2中,延長OM到H,使得MH=OM,設AD交OH于G,交OB于K.
∵CM=BM,∠CMO=∠BMH,OM=MH,
∴△CMO≌△BMH,
∴OC=BH=OD,∠COM=∠H,
∴OC∥BH,
∴∠OBH+∠COB=180°,
∵∠AOD+∠COB=180°,
∴∠OBH=∠AOD,
∵OB=OA,
∴△OBH≌△AOD,
∴AD=OH,∠OAD=∠BOH,
∵∠OAD+∠AKO=90°,
∴∠BOH+∠AKO=90°,
∴∠OGK=90°,
∴AD⊥OH,
∴OM=AD,OM⊥AD.
(3)①如圖3中,當OC⊥BC設,作CH⊥OAY于H.
∵∠OCB=90°,OB=2OC,
∴∠OBC=30°,∠OCB=60°,∠COH=30°,
∴CH=OC=1,BC=OC=2,
∴S△ABC=S△AOB﹣S△AOC﹣S△BOC=6﹣2.
②如圖4中,作CH⊥AO于H.
易知∠BOC=60°,∠COH=30°,可得CH=1,BC=2,
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC﹣S△AOC=6+2,
綜上所述,△ABC的面積為6+2或6﹣2.
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象上分別與x軸,y軸交于A、B兩點,正比例函數(shù)的圖象與交于點.
(1)求m的值;
(2)求直線的解析式;
(3)-次函數(shù)的圖象為直線,且,,可以圍成三角形,求k的取值范圍.
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【題目】已知x1,x2是關于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根,是否存在實數(shù)k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結論:①9a﹣3b+c=0;②4a﹣2b+c>0;③方程ax2+bx+c﹣4=0有兩個相等的實數(shù)根;④方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的兩根是x1=﹣2,x2=2.其中正確結論的個數(shù)是_________.
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【題目】為積極響應新舊動能轉換.提高公司經(jīng)濟效益.某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設備,每臺設備成本價為30萬元,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),每臺售價為40萬元時,年銷售量為600臺;每臺售價為45萬元時,年銷售量為550臺.假定該設備的年銷售量y(單位:臺)和銷售單價(單位:萬元)成一次函數(shù)關系.
(1)求年銷售量與銷售單價的函數(shù)關系式;
(2)根據(jù)相關規(guī)定,此設備的銷售單價不得高于70萬元,如果該公司想獲得10000萬元的年利潤.則該設備的銷售單價應是多少萬元?
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【題目】如圖1,AD,BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑,點P從點O出發(fā)沿圖中某一個扇形順時針勻速運動,設∠APB=y(單位:度),如果y與點P運動的時間x(單位:秒)的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示,那么點P的運動路線可能為( )
A. O→B→A→O B. O→A→C→O C. O→C→D→O D. O→B→D→O
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,sinB=,AC=8,D為線段BC上一點,CD=2.
(1)求BD的值;
(2)求cos∠DAC的值.
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【題目】(本題6分)如圖,已知△ABC,∠C=Rt∠,AC<BC,D為BC上一點,且到A,B兩點的距離相等.
(1)用直尺和圓規(guī),作出點D的位置(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)連結AD,若∠B=37°,求∠CAD的度數(shù).
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