Question

如圖，CD切⊙O于點(diǎn)D，連接OC，交⊙O于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作弦，點(diǎn)E為垂足，已知⊙O的半徑為10，sin∠COD=．
（1）求弦AB的長(zhǎng)；
（2）CD的長(zhǎng)；
（3）劣弧AB的長(zhǎng)（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字，sin53.13°≈0.8，π≈3.142）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用sin∠COD==，已知OB=10，所以BE=8，所以AB=16；
（2）根據(jù)題意可知△OBE∽△OCD，根據(jù)相似三角形的比求CD的長(zhǎng)；
（3）解直角三角形求出弧所對(duì)的圓心角，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算．
解答：解：（1）∵AB⊥OD，
∴∠OEB=90°
在Rt△OEB中，BE=OB×sin∠COD=10×=8
由垂徑定理得AB=2BE=16
所以弦AB的長(zhǎng)是16；（2分）

（2）方法（一）
在Rt△OEB中，OE==6．
∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴∠ODC=90°，
∴∠OEB=∠ODC．
∵∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴，
∴，
∴CD=．
所以CD的長(zhǎng)是．（3分）
方法（二）由sin∠COD=可得tan∠COD=，
在Rt△ODC中，tan∠COD=，
∴CD=OD•tan∠COD=10×=；（3分）

（3）連接OA，
在Rt△ODC中，
∵sin53.13°≈0.8
∴∠DOC=53.13°，
∴∠AOB=106.26°，
∴劣弧AB的長(zhǎng)度≈18.5．（3分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了解直角三角形和圓的有關(guān)知識(shí)，學(xué)生做數(shù)學(xué)題時(shí)一定要注意把各知識(shí)系統(tǒng)起來(lái)，才能提高做題能力．