Question

【題目】如圖，O是ABC的邊AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，交AB于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．連接CD，CD恰好平分∠BCE．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，CD＝2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）證明∠OCD+∠DCB＝90°，得出∠OCB＝90°，則結(jié)論得證；

（2）證明△CDB∽△ACB，得出，設(shè)BC＝x，則AB＝2x，DB＝2x﹣6，由BC2＝ABDB得出方程，解方程則可得出答案．

（1）證明：∵CE⊥AB，

∴∠CED＝90°，

∴∠ECD+∠CDE＝90°，

∵OC＝DO，

∴∠ODC＝∠OCD，

∵CD平分∠BCE，

∴∠ECD＝∠DCB，

∴∠OCD+∠DCB＝90°，

∴∠OCB＝90°，

∴直線BC是⊙O的切線；

（2）∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD＝90°，

∴∠CAD+∠CDA＝90°，

∵∠DCB+∠ODC＝90°，

∴∠DCB＝∠CAD，

∵∠CBD＝∠ABC，

∴△CDB∽△ACB，

∴，

∴BC2＝ABDB

∵⊙O的半徑為3，CD＝2，

∴AC＝＝＝4，

∴＝，

設(shè)BC＝x，則AB＝2x，DB＝2x﹣6，

∴x2＝2，

解得x＝，

∴BC＝．