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【題目】如圖,在矩形ABCD中,ECD的中點,FBE上的一點,連接CF并延長交AB于點MMNCM交射線AD于點N

1)如圖1,當點FBE的中點時,求證:AM=CE;

2)如圖2,若==nn≥3)時,請直接寫出的值;

3)若矩形ABCDABBC)對角線ACMNT,H為邊BC上一點,∠CMH=45°=(如圖3).若CF平分∠ACB,請直接寫出的值.

【答案】1)見解析;(2;(3

【解析】

1)如圖1中,證明△BFM≌△EFCASA)即可解決問題;

2)如圖2中,設BC=a,則AB=BC=na,EC=DE=.利用相似三角形的性質求出EF,BF,根據EFBF=n,構建方程求出n,求出AN,DN(用a表示),即可解決問題;

3)如圖3中,延長NMCB的延長線于G,作CKCMMH的延長線于K,作KJBCJ.由△CBM≌△KJCAAS),推出BM=CJ,BC=JK,設BM=CJ=x,由BHCH=15,可以假設BH=xCH=5x,由BMJK,推出=,可得=,解得x=3a2a(舍棄),再想辦法求出MF,MT即可解決問題.

1)證明:如圖1中,

∵四邊形ABCD是矩形,

AB=CDABCD,

∴∠MBF=CEF,

BF=EF,∠BFM=CFE,

在△BFM和△EFC中,

,

∴△BFM≌△EFCASA),

BM=CE,

DE=EC=CD,

BM=AB,

AM=BM=EC

2)解:如圖2中,設BC=a,則AB=CD=naEC=DE=

EB=

CFBE,可得EF==,BF==,

EFBF=n,

=n

解得n=40(舍棄),

AB=DC=4a,EC=DE=2a,

易知BM=aAM=aAN=aDN=a-a=a,

==

3)解:如圖3中,延長NMCB的延長線于G,作CKCMMH的延長線于K,作KJBCJ

∵∠CMK=45°,∠MCK=90°

CM=CK,

∵∠MCB+CMB=90°,∠MCB+BCK=90°,

∴∠CMB=BCK,

在△CBM和△KJC中,

,

易證△CBM≌△KJCAAS),

BM=CJ,BC=JK,設BM=CJ=x,

BHCH=15,

∴可以假設BH=x,CH=5x,

BMJK

=,

=,

解得x=3a2a(舍棄),

CM平分∠ACB,易證=

=

AC=2AM,設AM=y,則AC=2y,

AC2=AB2+BC2

4y2=y+3a2+6a2,

解得y=5a(負根已經舍棄),

AM=5a,AB=CD=8aEC=4a,CM==3a,

BMEC

==

MF=×3a=a

CMTG,CM平分∠TCG

∴易證MT=MG,

由△MBG∽△CBM,可得MG=a,

MT=a,

==

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