Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，F為BE上的一點，連接CF并延長交AB于點M，MN⊥CM交射線AD于點N

（1）如圖1，當點F為BE的中點時，求證：AM=CE；

（2）如圖2，若==n（n≥3）時，請直接寫出的值；

（3）若矩形ABCD（AB＞BC）對角線AC交MN于T，H為邊BC上一點，∠CMH=45°且=（如圖3）．若CF平分∠ACB，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖1中，證明△BFM≌△EFC（ASA）即可解決問題；

（2）如圖2中，設BC=a，則AB=BC=na，EC=DE=．利用相似三角形的性質求出EF，BF，根據EF：BF=n，構建方程求出n，求出AN，DN（用a表示），即可解決問題；

（3）如圖3中，延長NM交CB的延長線于G，作CK⊥CM交MH的延長線于K，作KJ⊥BC于J．由△CBM≌△KJC（AAS），推出BM=CJ，BC=JK，設BM=CJ=x，由BH：CH=1：5，可以假設BH=x，CH=5x，由BM∥JK，推出=，可得=，解得x=3a或2a（舍棄），再想辦法求出MF，MT即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠MBF=∠CEF，

∵BF=EF，∠BFM=∠CFE，

在△BFM和△EFC中，

，

∴△BFM≌△EFC（ASA），

∴BM=CE，

∵DE=EC=CD，

∴BM=AB，

∴AM=BM=EC．

（2）解：如圖2中，設BC=a，則AB=CD=na，EC=DE=．

則EB=，

由CF⊥BE，可得EF==，BF==，

∵EF：BF=n，

∴：=n，

解得n=4或0（舍棄），

∴AB=DC=4a，EC=DE=2a，

易知BM=a，AM=a，AN=a，DN=a-a=a，

∴==．

（3）解：如圖3中，延長NM交CB的延長線于G，作CK⊥CM交MH的延長線于K，作KJ⊥BC于J．

∵∠CMK=45°，∠MCK=90°，

∴CM=CK，

∵∠MCB+∠CMB=90°，∠MCB+∠BCK=90°，

∴∠CMB=∠BCK，

在△CBM和△KJC中，

，

易證△CBM≌△KJC（AAS），

∴BM=CJ，BC=JK，設BM=CJ=x，

∵BH：CH=1：5，

∴可以假設BH=x，CH=5x，

∵BM∥JK，

∴=，

∴=，

解得x=3a或2a（舍棄），

∵CM平分∠ACB，易證=，

∴=，

∴AC=2AM，設AM=y，則AC=2y，

∵AC2=AB2+BC2，

∴4y2=（y+3a）2+（6a）2，

解得y=5a（負根已經舍棄），

∴AM=5a，AB=CD=8a，EC=4a，CM==3a，

∵BM∥EC，

∴==，

∴MF=×3a=a，

∵CM⊥TG，CM平分∠TCG，

∴易證MT=MG，

由△MBG∽△CBM，可得MG=a，

∴MT=a，

∴==．