Question

【題目】如圖，A，P，B，C是圓上的四個點，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延長線相交于點D．

（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=，求PD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）由圓周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°，從而可證得△ABC是等邊三角形；

（2）由△ABC是等邊三角形可得出“AC=BC=AB=，∠ACB=60°”，在直角三角形PAC和DAC通過特殊角的正、余切值即可求出線段AP、AD的長度，二者作差即可得出結論．

試題解析：（1）∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形；

（2）∵△ABC是等邊三角形，AB=，∴AC=BC=AB=，∠ACB=60°．在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=，∴AP=ACcot∠APC=2．在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=，∠ACD=60°，∴AD=ACtan∠ACD=6，∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．