【題目】如圖,A,P,B,C是圓上的四個點,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延長線相交于點D.

(1)求證:△ABC是等邊三角形;

(2)若∠PAC=90°,AB=,求PD的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)4

【解析】

試題分析:(1)由圓周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°,從而可證得△ABC是等邊三角形;

(2)由△ABC是等邊三角形可得出“AC=BC=AB=,∠ACB=60°”,在直角三角形PAC和DAC通過特殊角的正、余切值即可求出線段AP、AD的長度,二者作差即可得出結論.

試題解析:(1)∵∠ABC=∠APC,∠BAC=∠BPC,∠APC=∠CPB=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴△ABC是等邊三角形;

(2)∵△ABC是等邊三角形,AB=,∴AC=BC=AB=,∠ACB=60°.在Rt△PAC中,∠PAC=90°,∠APC=60°,AC=,∴AP=ACcot∠APC=2.在Rt△DAC中,∠DAC=90°,AC=,∠ACD=60°,∴AD=ACtan∠ACD=6,PD=AD﹣AP=6﹣2=4.

練習冊系列答案
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