Question

九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在社會實(shí)踐活動中，進(jìn)行了如下的課題研究：用一定長度的鋁合金材料，將它設(shè)計(jì)成外觀為長方形的三種框架，使長方形框架面積最大．
小組討論后，同學(xué)們做了以下三種試驗(yàn)：

請根據(jù)以上圖案回答下列問題：
（1）在圖案1中，如果鋁合金材料總長度（圖中所有黑線的長度和）為6m，當(dāng)AB為1m，長方形框架ABCD的面積是

 

m²；
（2）在圖案2中，如果鋁合金材料總長度為6m，設(shè)AB為xm，長方形框架ABCD的面積為S=

 

（用含x的代數(shù)式表示）；當(dāng)AB=

 

m時(shí)，長方形框架ABCD的面積S最大；在圖案3中，如果鋁合金材料總長度為lm，設(shè)AB為xm，當(dāng)AB=

 

m時(shí)，長方形框架ABCD的面積S最大．
（3）經(jīng)過這三種情形的試驗(yàn)，他們發(fā)現(xiàn)對于圖案4這樣的情形也存在著一定的規(guī)律．探索：如圖案4如果鋁合金材料總長度為lm共有n條豎檔時(shí)，那么當(dāng)豎檔AB多少時(shí)，長方形框架ABCD的面積最大．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)AB=1時(shí)，BC=

6-2

3

=

4

3

；長方形框架ABCD的面積是：1×

4

3

=

4

3

；
（2）當(dāng)AB=x時(shí)，BC=

6-3x

3

=2-x，長方形框架ABCD的面積為S=x（2-x）=-x²+2x，當(dāng)x=-

2

2×(-1)

=1時(shí)，S=-x²+2x=1：在圖案3中，如果鋁合金材料總長度為lm，設(shè)AB為xm，則BC=

l-4x

3

，S=x•

l-4x

3

=-

4

3

x²+

l

3

x：
當(dāng)x=-

l 3

2(- 4 3 )

=

l

8

時(shí)，長方形框架ABCD的面積S最大；
（3）如果鋁合金材料總長度為lm共有n條豎檔時(shí)，則BC=

l-nx

3

，S=x•

l-nx

3

=-

n

3

x2+

l

3

x，依照同樣方法可求當(dāng)x=

l

2n

時(shí)，長方形框架ABCD的面積最大．

解答：解：（1）

4

3

，（2分）

（2）-x²+2x，1，

l

8

，（6分）

（3）設(shè)AB長為xm，那么AD為

l-nx

3

，（7分）
S=x•

l-nx

3

=-

n

3

x2+

l

3

x，（8分）
當(dāng)x=

l

2n

時(shí)，S最大．（9分）

點(diǎn)評：考查數(shù)學(xué)活動過程中，學(xué)生對活動對象、有關(guān)知識與方法的理解，培養(yǎng)探究意識．能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納等獲得猜想．