Question

【題目】(如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，且∠B＝2∠A，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，EF＝FC.

(1)求證：CF是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為2，且AC＝CE，求AM的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3-.

【解析】試題分析：（1）連接OC，如圖，根據圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用∠B=2∠A可計算出∠B=60°，∠A=30°，易得∠E=30°，接著由EF=FC得到∠ECF=∠E=30°，所以∠FCA=60°，加上∠OCA=∠A=30°，所以∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，于是可根據切線的判定得到FC是⊙O的切線；

（2）利用含30度的直角三角形三邊的關系．在Rt△ABC中可計算出，

，則,所以BE=BC+CE=，然后在Rt△BEM中計算出 再計算AB-BM的值即可．

證明：如圖，連接OC.

∵⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，

∴AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°.

又∵∠B＝2∠A，

∴∠B＝60°，∠A＝30°.

∵EM⊥AB，∴∠EMB＝90°.

在Rt△EMB中，∠B＝60°，

∴∠E＝30°.

又∵EF＝FC，

∴∠ECF＝∠E＝30°.

又∵∠ECA＝90°，

∴∠FCA＝60°.

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A＝30°，

∴∠FCO＝∠FCA＋∠ACO＝90°，

∴OC⊥CF，

∴FC是⊙O的切線；

(2)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，

∴BC＝AB＝2，AC＝＝BC＝2.

∵AC＝CE，

∴CE＝2，

∴BE＝BC＋CE＝2＋2.

在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠E＝30°，

∴BM＝BE＝1＋，

∴AM＝AB－BM＝4－1－＝3－.