Question

已知二次函數(shù)y=x²﹣（m²﹣2）x﹣2m的圖象與x軸交于點A（x₁，0）和點B（x₂，0），x₁＜x₂，與y軸交于點C，且滿足．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題。

分析：（1）欲求拋物線的解析式，關鍵是求得m的值．根據(jù)題中所給關系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，可以求得m的值，從而問題得到解決．注意：解答中求得兩個m的值，需要進行檢驗，把不符合題意的m值舍去；

（2）利用平行四邊形的性質構造全等三角形，根據(jù)全等關系求得P點的縱坐標，進而得到P點的橫坐標，從而求得P點坐標．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²﹣（m²﹣2）x﹣2m的圖象與x軸交于點A（x₁，0）和點B（x₂，0），x₁＜x₂，

令y=0，即x²﹣（m²﹣2）x﹣2m=0 ①，則有：

x₁+x₂=m²﹣2，x₁x₂=﹣2m．

∴===，

化簡得到：m²+m﹣2=0，解得m₁=﹣2，m₂=1．

當m=﹣2時，方程①為：x²﹣2x+4=0，其判別式△=b²﹣4ac=﹣12＜0，此時拋物線與x軸沒有交點，不符合題意，舍去；

當m=1時，方程①為：x²+x﹣2=0，其判別式△=b²﹣4ac=9＞0，此時拋物線與x軸有兩個不同的交點，符合題意．

∴m=1，

∴拋物線的解析式為y=x²+x﹣2．

（2）假設在直線y=x+3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形．[來源:Z§xx§k.Com]

如圖所示，連接PA．PB．AC．BC，過點P作PD⊥x軸于D點．

∵拋物線y=x²+x﹣2與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，

∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2．

∵PACB為平行四邊形，∴PA∥BC，PA=BC，

∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．

在Rt△PAD與Rt△CBO中，

∵，

∴Rt△PAD≌Rt△CBO，

∴PD=OC=2，即y_P=2，

∴直線解析式為y=x+3，

∴x_P=﹣1，

∴P（﹣1，2）．

所以在直線y=x+3上存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形，P點坐標為（﹣1，2）．

點評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質、拋物線與x軸的交點、一元二次方程根的解法及根與系數(shù)關系、一次函數(shù)、平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等方面的知識，涉及的考點較多，有一定的難度．