Question

如圖，正方形ABCD中，點E在邊AB上，點G在邊AD上，且∠ECG
＝45°，點F在邊AD的延長線上，且DF= BE．則下列結論：①∠ECB是銳角，；
②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG= BE＋GD中一定成立的結論有    ▲    
(寫出全部正確結論)．

Answer 1

①③④

根據(jù)題意∠ECB在∠BCD=90°內(nèi)部，可知∠ECB是銳角；根據(jù)點E在邊AB上，點G在邊AD上，且∠ECG=45°，判斷不出AE與AG的大小；由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因為DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．
解：根據(jù)題意∠ECB在∠BCD=90°內(nèi)部，可知∠ECB是銳角，故①正確；
根據(jù)點E在邊AB上，點G在邊AD上，且∠ECG=45°，
判斷不出AE與AG的大小，故②錯誤；
在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF，
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，故③正確；
又GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD，故④正確．
故答案為：①③④．