Question

【題目】在⊙O中，AB為直徑，點P在AB的延長線上，PC與⊙O相切于點C，點D為弧AC上的點，且2∠DAB﹣∠P＝90°，連接AD．

（1）如圖1，求證：弧AD＝弧BC；

（2）如圖2，PC＝6，PB＝，求∠ADC度數(shù)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，F為AB下方⊙O上一點．∠ACF＝60°，L為OF中點，LK⊥AL于L，交CF于點K．連接AK，求AK的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ADC＝120°；（3）AK＝2．

【解析】

（1）如圖1中，連接OD，OC．想辦法證明∠AOD＝∠COB即可．

（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出PA，再證明∠COB＝60°即可解決問題．

（3）如圖3中，作LH⊥AB于H，設KL交AP于N．CF交AB于M．首先證明△ACF是等邊三角形，解直角三角形求出OH，HL，HN，利用相似三角形的性質(zhì)求出KM，再利用勾股定理即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，連接OD，OC．

∵PC是⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO＝90°，

∴∠P+∠POC＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠DAB＝∠ADO，

∵2∠DAB﹣∠P＝90°，

∴180°﹣∠AOD﹣（90°﹣∠POC）＝90°，

∴∠AOD＝∠POC，

∴弧AD＝弧BC．

（2）解：如圖2中，連接OC，BC．

∵AB是直徑，PC是切線，

∴∠ACB＝∠PCB，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠PCB＝∠PAC，

∵∠P＝∠P，

∴△PCB∽△PAC，

∴ ，

∴PC2＝PBPA，

∴PA＝，

∴AB＝PA﹣PB＝4，

∴OC＝OB＝OA＝2，

∴tan∠COB＝ ＝，

∴∠COB＝60°，

∵OC＝OB，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝120°．

（3）解：如圖3中，作LH⊥AB于H，設KL交AP于N．CF交AB于M．

∵∠AFC＝180°﹣∠ADC＝60°，∠ACF＝60°，

∴△ACF是等邊三角形，

由（1）可知，AC＝AF＝CF＝6，∠CAP＝30°，

∵∠CAF＝60°，

∴∠CAN＝∠FAN＝30°，

∴AN⊥CF，

∴CN＝NF＝ AC＝3，

∵OL＝LF＝，

在Rt△OHL中，∠OHL＝90°，∠HOL＝60°，

∴OH＝OL＝ ，HL＝ ，

∵LH∥FN，OL＝LF，

∴OH＝HM＝，

∵AM＝ACcos30°＝6×＝3，HL＝FM＝，

∴

∵AL⊥LK，

∴∠AHL＝∠ALN＝90°，

∵∠LAH＝∠LAN，

∴△AHL∽△ALN，

∴，

∴，

∴HN＝AN﹣AH＝，NM＝HM﹣HN＝，

∵HL∥KM，

∴，

∴，

∴MK＝1，

∴AK＝