Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點E、點F分別在邊AD，BC上，且EF⊥AD，點B關于EF的對稱點為G點，連接EG，若EG與以CD為直徑的⊙O恰好相切于點M，則AE的長度為（ ）

A.3B.C.6+D.6﹣

Answer 1

【答案】D

【解析】

設AE＝x，則ED＝8﹣x，易得四邊形ABFE為矩形，則BF＝x，利用對稱性質得FG＝BF＝x，則CG＝8﹣2x，再根據切線長定理得到EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，所以EG＝16﹣3x，在Rt△EFG中利用勾股定理得到42+x2＝(16﹣3x)2，然后解方程可得到AE的長．

解：設AE＝x，則ED＝8﹣x，

∵EF⊥AD，

∴四邊形ABFE為矩形，

∴BF＝x，

∵點B關于EF的對稱點為G點，

∴FG＝BF＝x，

∴CG＝8﹣2x，

∵∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴AD和BC為⊙O的切線，

∵EG與以CD為直徑的⊙O恰好相切于點M，

∴EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，

∴EG＝8﹣x+8﹣2x＝16﹣3x，

在Rt△EFG中，42+x2＝(16﹣3x)2，

整理得x2﹣12x+30＝0，

解得x1＝6﹣，x2＝6+（舍去），

即AE的長為6﹣．

故選：D．