Question

（2012•天橋區(qū)三模）（1）已知：如圖1，?ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求證：BE=DF．
（2）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖2是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，由全等三角形的判定定理得出△ABE≌△CDF，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)O為圓形截面所在圓的圓心，過(guò)O作OC⊥AB于D，交AB于C，先由垂徑定理得出BD的長(zhǎng)，故可得出CD的長(zhǎng)，設(shè)半徑為xcm，則OD=（x-4）cm．在Rt△BOD中，由勾股定理即可求出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴∠BAE=∠BCF，
在△ABE與△CDF中，
∵

∠BAE=∠DCF AB=CD ∠ABE=∠CDE

，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF；

（2）解：假設(shè)O為圓形截面所在圓的圓心，過(guò)O作OC⊥AB于D，交AB于C，
∵OC⊥AB，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

×16=8cm，
由題意可知，CD=4cm．
設(shè)半徑為xcm，則OD=（x-4）cm．
在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD²+BD²=OB²
∴（x-4）²+8²=x²．
∴x=10．即這個(gè)圓形截面的半徑為10cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理、勾股定理及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．