已知:如圖,直線l的解析式為y=
3
4
x-3
,并且與x軸、y軸分別交于點A、B.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)一個圓心在坐標原點、半徑為1的圓,以0.4個單位/秒的速度向x軸正方向運動,問在什么時刻與直線l相切?
(3)在題(2)中,在圓開始運動的同時,一動點P從B點出發(fā),沿射線BA方向以0.5個單位/秒的速度運動,設t秒時點P到動圓圓心的距離為s.
①求s與t的關系式;
②問在整個運動過程中,點P在動圓的圓面(圓上和圓內(nèi)部)上,一共運動了多長時間?(直接寫出答案)
考點:圓的綜合題
專題:
分析:(1)根據(jù)題意可將A,B代入解析式中求出兩點坐標;
(2)當圓與直線相切時,根據(jù)直線1與x軸的角度可求出圓心坐標,然后再求出時間t;
(3)①先證點P與動圓圓心C的連線平行于y軸.當0≤t≤10時,s=3-0.3t;當t>10時,s=0.3t-3;
②可設在t秒時,動圓的圓心在F點處,動點在P處,此時OF=0.4t,BP=0.5t,F(xiàn)點的坐標為(0.4t,0),連接PF.
因為
OC
BP
=
0.4t
0.5t
=
4
5
,又
OA
BA
=
4
5
,所以可得到
OC
BP
=
OA
BA
,進而可得到CP∥OB,PC⊥OA,所以P點的橫坐標為0.4t,又結合P點在直線AB上,可得P點的縱坐標為0.3t-3,因此可見:當PC=1時,P點在動圓上,當0≤PC<1時,P點在動圓內(nèi),而當PC=1時,由對稱性可知,有兩種情況:①當P點在x軸下方時,PC=-(0.3t-3)=1,解之可得t的值,②當P點在x軸上方時,PC=0.3t-3=1,解之得t的另一個值,進而可得到當
20
3
時,0≤PC≤1,并且此時點P在動圓的圓面上,所經(jīng)過的時間為
40
3
解答:解:(1)解:如圖所示:在y=
3
4
x-3
中,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
故A,B兩點的坐標分別為A(4,0),B(0,-3).

(2)設t秒時圓與直線l相切,設切點為H,圓心為C.
如圖所示,連接CH,則CH⊥AB.由∠CAH=∠BAO,∠CHA=∠BOA=90°,
則△ACH∽△ABO,
CH
OB
=
AC
AB

①當點C在點A的左側時,
1
3
=
4-0.4t
5

解得t=
35
6

當點C在點A的右側時,
1
3
=
0.4t-4
5

解得t=
85
6

綜上,t=
35
6
t=
85
6
;

(3)①先證點P與動圓圓心C的連線平行于y軸.
當時,s=3-0.3t
當t>10時,s=0.3t-3;
20
3
秒.

(3)①設在t秒,動圓的圓心在C點處,動點在P處,此時OC=0.4t,BP=0.5t,C點的坐標為(0.4t,0),連接PC.
OC
BP
=
0.4t
0.5t
=
4
5
,又
OA
BA
=
4
5
,∴
OC
BP
=
OA
BA

∴CP∥OB,∴PC⊥OA,
∴P點的橫坐標為0.4t,
又∵P點在直線AB上,
∴P點的縱坐標為|0.3t-3|,即s=
3-0.3t(0≤t≤10)
0.3t-3(t>10)

②由①知,當PC=1時,P點在動圓上,當0≤PC<1時,P點在動圓內(nèi).    
當PC=1時,由對稱性可知,有兩種情況:
①當P點在x軸下方時,PF=-(0.3t-3)=1,解之得t=
20
3
;
②當P點在x軸上方時,PF=0.3t-3=1,解之得:t=
40
3
.                     
∴當
20
3
≤t≤
40
3
時,0≤PC≤1,此時點P在動圓的圓面上,所經(jīng)過的時間為
40
3
-
20
3
=
20
3

答:動點在動圓的圓面上共經(jīng)過了
20
3
秒.
點評:本題主要考查對于一次函數(shù)的應用以及對于圓和直線相切的性質(zhì)的認識.解題時,對于動點問題,一定要分類討論.
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,
 
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-
1
3
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3
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+
(-2))2

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12
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1
2
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|
;
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2a
a2-4
-
1
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3
-2.

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