Question

7．在某張航海圖上，標(biāo)明了三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)為O（0，0）、B（12，0）、C（12，16），由三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)確定的圓形區(qū)域是“利劍-2016”中國(guó)多軍種軍事演習(xí)區(qū)，如圖所示．
（1）求圓形區(qū)域的面積．
（2）某時(shí)刻海面上出現(xiàn)一艘可疑船A，在觀測(cè)點(diǎn)O測(cè)得A位于北偏東45°方向上，同時(shí)在觀測(cè)點(diǎn)B測(cè)得A位于北偏東30°方向上，求觀測(cè)點(diǎn)B到可疑船A的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；
（3）當(dāng)可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行時(shí)，是否會(huì)進(jìn)入演習(xí)區(qū)？請(qǐng)通過計(jì)算解釋．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)O，B，C的坐標(biāo)，即可證明△OBC是直角三角形，則OC是直徑，據(jù)此即可求解；
（2）在△OAB中，利用正弦定理即可求得AB的長(zhǎng)；
（3）利用三角函數(shù)即可求得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值，與圓的半徑比較大小即可判斷．

解答 解：（1）由O（0，0），B（12，0），C（12，16）三點(diǎn)的坐標(biāo)可知：OB⊥BC，即△OBC為直角三角形，
所以其外接圓的直徑 2R=OC=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
即R=10，
故所求圓形區(qū)域的面積S=πR²=100π；

（2）由圖可知，在△OAB中，∠AOB=90°-45°=45°，∠OBA=90°+30°=120°，OB=12，
則∠OAB=180°-45°-120°=15°，
根據(jù)正弦定理有$\frac{AB}{sin∠AOB}$=$\frac{OB}{sin∠OAB}$，
即$\frac{AB}{sin45°}$=$\frac{12}{sin15°}$，
解得AB=12（$\sqrt{3}$+1）；

（3）設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，則
y=ABsin（180°-120°）=12（$\sqrt{3}$+1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6（3+$\sqrt{3}$）＞2R，
因此當(dāng)可疑船由（2）中的位置向正西方向航行時(shí)，不會(huì)進(jìn)入演習(xí)區(qū)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確運(yùn)用正弦定理求得AB的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．