Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx過(guò)A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可墳得a、b的值，可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再求△ABC的面積即可；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（m，-m²+4m），利用差表示△ABP的面積，列式計(jì)算求出m的值，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）分別以點(diǎn)C、M、N為直角頂點(diǎn)分三類(lèi)進(jìn)行討論，利用全等三角形和勾股定理ON的長(zhǎng)即可．

解答 解：
（1）把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax²+bx中，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=16a+4b}\\{3=a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$：，
∴拋物線表達(dá)式為y=-x²+4x；
（2）∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
∵點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），
∴C（3，3），
∴BC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）如圖1，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，

設(shè)點(diǎn)P（m，-m²+4m），
根據(jù)題意，得：BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∴S_△ABP=S_△ABH+S_{四邊形HAPD}-S_△BPD，
∴6=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m²-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m²-4m），
∴3m²-15m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=5，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，-5）；
（4）以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類(lèi)情況討論：
①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴N（2，0）；
②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖3，

作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，
得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM=CD=5，
∵OH=1，
∴ON=NH-OH=5-1=4，
∴N（-4，0）；
③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴ME=NH=DN=3，
∴ON=3-1=2，
∴N（-2，0）；
④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，作輔助線，如圖5，

同理得ME=DN=NH=3，
∴ON=1+3=4，
∴N（4，0）；
⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿(mǎn)足條件的等腰直角三角形；
綜上可知當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（-4，0）或（-2，0）或（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中注意利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性，在（3）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出△ABP的面積是解題的關(guān)鍵，在（4）中分三種情況分別求得ON的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．