Question

Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90⁰，∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結(jié)論

①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD與EF可能互相平分，

其中正確結(jié)論的個數(shù)是【    】

A．1個    B．2個    C．3個    D．4個

 

Answer 1

【答案】

C。

【解析】∵Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90⁰，

∴AD =DC，∠EAD=∠C=45⁰，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90⁰－∠AND=∠FDC。

∴△EDA≌△FDC（ASA）。∴AE=CF�！郆E+CF= BE+ AE=AB。

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC�！�(BE+CF)= BC�！嘟Y(jié)論①正確。

設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF=BE= a－b。

∴。

∴�！嘟Y(jié)論②正確。

如圖，過點E作EI⊥AD于點I，過點F作FG⊥AD于點G，過點F作FH⊥BC于點H，ADEF相交于點O。

∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，

∴EO≥EI（EF⊥AD時取等于）=FH=GD，

OF≥GH（EF⊥AD時取等于）=AG。

∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD�！嘟Y(jié)論④錯誤。

∵△EDA≌△FDC，

∴�！嘟Y(jié)論③錯誤。

又當(dāng)EF是Rt△ABC中位線時，根據(jù)三角形中位線定理知AD與EF互相平分。

∴結(jié)論⑤正確。

綜上所述，結(jié)論①②⑤正確。故選C。