Question

如圖，已知在Rt△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)F，連結(jié)OC交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)BD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，連結(jié)DF．
（1）求證：∠CFD=∠AEB；
（2）已知AB=4，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接AD．由圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推知∠ADB=90°，∠CFD=∠BAD．然后根據(jù)同角的余角相等證得∠DAB=∠BEA，則易證∠CFD=∠AEB．   
（2）延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG．由△CDE∽△CGA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到CD：CG=CE：CA，DG：CG=EA：CA，即4：（2+2

5

）=EA：4，易求AE的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：如圖，連接AD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∵點(diǎn)A、D、F、B四點(diǎn)共圓，
∴∠CFD=∠BAD．
又∵∠DBA+∠DAB=90°，∠DBA+∠BEA=90°，
∴∠DAB=∠BEA，
∴∠CFD=∠AEB．   

（2）延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG．
在Rt△ACO中，OA=2，AC=4，
∴根據(jù)勾股定理，得到OC=

OA2+AC2

=2

5

，
∴CG=2+2

5

∵AB、GB分別為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠GAD=90°，
∴DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA
∴CD：CG=CE：CA，DG：CG=EA：CA，即4：（2+2

5

）=EA：4，
∴EA=2

5

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理．解題時(shí)，注意輔助線的作法．