Question

如圖1，小明將一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2）量得它們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°再將這兩張三角形紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）．

小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫忙解決．
（1）將圖3中的△ABC沿BD向右平移到圖4的位置，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，請(qǐng)你求出平移的距離；
（2）將圖3中的△ABC繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°到圖5的位置，A₁F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；
（3）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB₁交DE于點(diǎn)H，請(qǐng)證明：AH=DH．

Answer 1

解：∵AB=DE=10，∠A=∠D=30°，
∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，F(xiàn)D=EF=5．

（1）如圖4，F(xiàn)C₁=BF=5，
所以△ABC沿BD向右平移的距離為5；

（2）∵△ABC繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°到圖5的位置，
∴∠AFA₁=30°，
∴∠A₁FD=60°，
而∠D=30°，
∴FG⊥CD，
∴EG=EF=，
∴DG=10-=，
∴DG=3EG，
∴k的值為3；

（3）∵△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，
∴B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=60°，
∴DB₁=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，
而∠DHB₁=∠AHE，
在△DB₁H與△AEH中，
∵∠DB₁H=∠AEH，DB₁=AE，∠DHB₁=∠AHE，
∴△DB₁H≌△AEH，
∴AH=DH．
分析：先根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，F(xiàn)D=EF=5．
（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到FC₁=BF，從而得到平移的距離；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AFA₁=30°，則∠A₁FD=60°，得到FG⊥CD，再根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到EG=EF，則可得到DG，從而求出k的值；
（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=60°，則DB₁=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，易證△DB₁H≌△AEH，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．也考查了平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．