Question

如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH的中點，連接AE并延長交BD于F，直線CF交直線AB于點G．
（1）求證：點F是BD的中點；
（2）求證：CG是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，那么對應線段成比例，由E為CH的中點，可證得DF=FB．
（2）連接OC，證∠OCF=90°即可，注意使用（1）中得到的結論得到CF=FB，得到相應的角相等，半徑相等得到的對應角相等．
解答：證明：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF．（1分）
∴．
∵HE=EC，
∴BF=FD．（3分）

（2）連接CB、OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵F是BD中點，CF=DF=BF，
∴∠BCF=∠CAB=∠CBF=90°-∠CBA=∠CBF=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=∠OCB+∠BCF=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，
∴CG是⊙O的切線．（6分）
點評：注意使用已得到的結論，用到的知識點為：兩三角形相似，對應線段成比例；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．