Question

在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）經過變換τ得到點P′（x′，y′），該變換記作τ（x，y）=（x′，y′），其中（a，b為常數）．例如，當a=1，且b=1時，τ（-2，3）=（1，-5）．
（1）當a=1，且b=-2時，τ（0，1）=______；
（2）若τ（1，2）=（0，-2），則a=______，b=______；
（3）設點P（x，y）是直線y=2x上的任意一點，點P經過變換τ得到點P′（x′，y′）．若點P與點P′重合，求a和b的值．

Answer 1

解：（1）當a=1，且b=-2時，x′=1×0+（-2）×1=-2，y′=1×0-（-2）×1=2，
則τ（0，1）=（-2，2）；

（2）∵τ（1，2）=（0，-2），
∴，
解得a=-1，b=；

（3）∵點P（x，y）經過變換τ得到的對應點P'（x'，y'）與點P重合，
∴τ（x，y）=（x，y）．
∵點P（x，y）在直線y=2x上，
∴τ（x，2x）=（x，2x）．
∴，
即
∵x為任意的實數，
∴，
解得．
∴，．
故答案為：（-2，2）；-1，．
分析：（1）將a=1，b=-2，τ（0，1），代入，可求x′，y′的值，從而求解；
（2）將τ（1，2）=（0，-2），代入，可得關于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解；
（3）由點P（x，y）經過變換τ得到的對應點P'（x'，y'）與點P重合，可得τ（x，y）=（x，y）．根據點P（x，y）在直線y=2x上，可得關于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解．
點評：考查了一次函數綜合題，關鍵是對題意的理解能力，具有較強的代數變換能力，要求學生熟練掌握解二元一次方程組．