Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，現(xiàn)有一動點P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A﹣B﹣C運動，設點P運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，點P與點A的距離為5cm？
（2）當t為何值時，△APD是等腰三角形？
（3）當t為何值時，（2＜t＜5），以線段AD、CP、AP的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且AP是斜邊？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，若點P在BC上，

∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4

∴BP=2t﹣4=3，

∴t= ；

如圖2，若點P在DC上，

則在Rt△ADP中，AP是斜邊，

∵AD=6，

∴AP＞6，

∴AP≠5．

綜上所述，當t= 秒時，點P與點A的距離為5cm

（2）

解：）當AD=DP時，如圖3，PC=（10﹣2t）cm，CD=4cm，DP=6cm，

∵CD2+PC2=DP2，即42+（10﹣2t）2=62，解得t=5± ，即t1=5+ ，t2=5﹣ ；

當DP=AP時，如圖4，PC=PB=3cm，

∵AB=4cm，

∴AB+BP=4+3=7cm，

∴t= （秒）；

當AD=AP=6時，PB=2t﹣4，

∵AB2+BP2=AP2，即42+（2t﹣4）2=62，解得t=2+ 或t=2﹣ （舍去），

綜上所述，當t=（5± ）秒或t= 秒時，△APD是等腰三角形

（3）

解：當2＜t＜5時，點P在BC邊上，

∵BP=2t﹣4，CP=10﹣2t，

∴AP2=AB2+BP2=42+（2t﹣4）2

由題意，有AD2+CP2=AP2

∴62+（10﹣2t）2=42+（2t﹣4）2

∴t= ＜5，

∴t= ．

答：當t= 秒時，以線段AD、CP、AP的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且AP是斜邊

【解析】（1）分為兩種情況：P在BC上，P在DC上，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于t的方程，求出即可；（2）分AD=DP，DP=AP，AD=AP三種情況進行討論；（3）求出BP=2t﹣4，CP=10﹣2t，根據(jù)AP2=AB2+BP2=42+（2t﹣4）2和AD2+CP2=AP2得出方程62+（10﹣2t）2=42+（2t﹣4）2 ， 求出方程的解即可．
【考點精析】利用勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．