Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD中點(diǎn)，連結(jié)OE．過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交線段OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)DF．求證：

（1）△ODE≌△FCE；

（2）四邊形ODFC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ODE=∠FCE，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE=DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；

（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OD=FC，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

試題解析：（1）∵CF∥BD

∴∠DOE＝∠CFE，

∵E是CD的中點(diǎn)，

∴CE＝DE

在△ODE和△FCE中，

，

∴△ODE≌△FCE（ASA）

∴OD＝CF．

（2）由（1）知OD＝CF ，

∵CF∥BD ，

∴四邊形ODFC是平行四邊形

在矩形ABCD中，OC＝OD，

∴四邊形ODFC是菱形．