Question

【題目】如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對角線．

（1）在剩余的頂點B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點，使連接的線段與AG平行，并說明理由；

（2）兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）BF∥AG．理由見解析；（2）.

【解析】試題分析: （1）利用已知得出正八邊形,它的內(nèi)角都為135°,再利用正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對稱,得出∠2+∠3=180°,進(jìn)而得出答案,

（2）根據(jù)題意得出△PAH≌△QCB≌△MDE,則PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,故四邊形PQMN是正方形,進(jìn)而求出PQ的長即可得出答案.

試題解析（1）連接BF,則有BF∥AG,

理由如下:

∵ABCDEFGH是正八邊形,

∴它的內(nèi)角都為135°,

又∵HA=HG,

∴∠1=22.5°,

從而∠2=135°﹣∠1=112.5°,

由于正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對稱,

∴∠3＝135°=67.5°

即∠2+∠3=180°,故BF∥AG,

（2）根據(jù)題設(shè)可知∠PHA=∠PAH=45°,

∴∠P=90°,同理可得∠Q=∠M=90°,

∴四邊形PQMN是矩形．

又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°,AH=BC=DE,

∴△PAH≌△QCB≌△MDE,

∴PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,

故四邊形PQMN是正方形．

在Rt△PAB中,

∵∠PAH=45°,AB=2,

∴ PA=ABsin45°=2,

∴ PQ=PA+AB+BQ=+2+=2+2,

故四邊形PQMN的面積 ==12+8.