Question

【題目】拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式。

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上的動點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=x2+x-4；(2)S=-m2-4m, S最大值=4．(3) （-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．

【解析】試題分析：（1）已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用拋物線的解析式表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)M到x軸的距離，然后根據(jù)三角形面積公式表示并整理即可得解，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的最值，然后即可得解；（3）利用直線與拋物線的解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長度，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出算式，然后解關(guān)于x的一元二次方程即可得解．

試題解析：

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），把B（0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，∴拋物線的解析式為：y=（x+4）（x-2），即y=x2+x-4；（2）過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），則AD=m+4，MD=-n，n=m2+m-4，∴S=S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO

==-2n-2m-8=-2×（m2+m-4）-2m-8=-m2-4m=-（m+2）2+4（-4＜m＜0）；∴S最大值=4．（3）設(shè)P（x，x2+x-4）．①如圖1，當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)知PQ∥OB，∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，又∵直線的解析式為y=-x，則Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合題意，舍去．由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；②如圖2，當(dāng)BO為對角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=-x得出Q為（4，-4）．故滿足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．