在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),AB=4,與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)(2,3).
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若拋物線的頂點(diǎn)為D,連接CD、CB,問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PBC+∠BDC=90°?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)K為拋物線上C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)F,使A、K、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)拋物線的解析式中,二次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)都含有相同的未知數(shù),可先確定拋物線的對(duì)稱軸,而AB的長(zhǎng)已知,可據(jù)此確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo);再根據(jù)已知點(diǎn)(2,3)可求出拋物線的解析式.
(2)首先求出點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo),此時(shí)發(fā)現(xiàn)△BDC恰好是直角三角形,且DC⊥BC,那么點(diǎn)D正好符合點(diǎn)P的要求;顯然在直線BC下方還有一個(gè)符合條件的點(diǎn)P,可將點(diǎn)B視作頂角頂點(diǎn)、BD為腰作一個(gè)等腰三角形(此時(shí)可在直線BC下方作出一個(gè)與∠DBC相等的角),先確定第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)所在腰的直線解析式后聯(lián)立拋物線即可求出另一點(diǎn)P.
(3)根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,不難確定點(diǎn)K的坐標(biāo).由題意,A、F都在x軸上,所以無(wú)論AF是邊還是對(duì)角線,點(diǎn)G的縱坐標(biāo)必為3或-3(與K相同或互為相反數(shù)),先代入拋物線確定出點(diǎn)G的坐標(biāo)后,再根據(jù)A、K的坐標(biāo)和平行四邊形的特點(diǎn)確定點(diǎn)F的坐標(biāo).
解答:解:(1)拋物線的對(duì)稱軸:x=-=-=1,且AB=4,則 A(-1,0)、B(3,0);
再代入點(diǎn)(2,3)后,可得:
,解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式:y=-x2+2x+3.

(2)由(1)知:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,則 D(1,4);
BC2=18、CD2=2、BD2=20,∴BC2+CD2=BD2,即△BCD是直角三角形,且DC⊥BC.
∴∠BDC+∠DBC=90°,即點(diǎn)D符合點(diǎn)P的要求,P1(1,4).
延長(zhǎng)DC至E,使得DC=CE,則△BDE是等腰三角形,且∠DBC=∠EBC,則直線BE與拋物線的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P的要求(B點(diǎn)除外)
通過(guò)圖示,不難看出 點(diǎn)D、E關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,則 E(-1,2),設(shè)直線BE:y=kx+b,則有:
,解得
∴直線BE:y=-x+,聯(lián)立拋物線的解析式后,得:
,解得(舍)、
∴P2(-,);
綜上,存在符合條件的點(diǎn)P,且坐標(biāo)為(1,4)、(-).

(3)易知點(diǎn)K(2,3);
由題意,A、F都在x軸上,根據(jù)平行四邊形的特點(diǎn)不難看出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為3或-3;
當(dāng)yG=3時(shí),-x2+2x+3=3,解得 x=0或2,
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1-2,0)或(-1+2,0),即(-3,0)、(1,0);
當(dāng)yG=-3時(shí),-x2+2x+3=-3,解得 x=1±,
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為(1+,-3)或(1-,-3),
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4+,0)、(4-,0);
綜上,有四個(gè)符合條件的點(diǎn)F,且坐標(biāo)為(-3,0)、(1,0)、(4+,0)、(4-,0).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查的知識(shí)點(diǎn)有:利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、直角三角形與等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì);(2)題中,判斷出△BCD的形狀是解題的關(guān)鍵;最后一題需要分類進(jìn)行討論,以免出現(xiàn)漏解的情況.
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13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(2,-2),在y軸上確定點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的有
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個(gè).

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=1,并且經(jīng)過(guò)(-2,-5)和(5,-12)兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C 點(diǎn),D是線段BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在此拋物線上,若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過(guò)點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH.則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí),求出該正方形的邊長(zhǎng);
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M,使△MBC中BC邊上的高為7
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?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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5
個(gè).

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(2,1)、B(4,1)、C(1,3).與△ABC與△ABD全等,則點(diǎn)D坐標(biāo)為
(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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