Question

(2005·廈門)已知：如圖，P是正方形ABCD內一點，在正方形ABCD外有一點E，滿足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，

(1)求證：△CPB≌AEB；

(2)求證PB⊥BE；

(3)若PA∶PB＝1∶2，∠APB＝135°，求cos∠PAE的值．

Answer 1

答案：略
解析：

解法1　(1)證明∵四邊形ABCD是正方形 　　∴BC＝AB 　　∵∠CBP＝∠ABE　BP＝BE 　　∵△CBP≌△ABE (2)∵證明∠CBP＝∠ABE 　　∴∠PBE＝∠ABE＋∠ABP＝∠CBP＋∠ABP＝90° 　　∴PB⊥BE 　　解法2 (1)、(2)兩小題可以一起證明． 　　證明：∵∠CBP＝∠ABE 　　∴∠PBE＝∠ABE＋∠ABP=∠CBP＋∠ABP＝90° 　　∴PB⊥BE　以B為旋轉中心，把△CBP按順時針方向旋轉90°， 　　∵BC＝AB　∠CBA＝∠PBE＝90°　BE＝BP 　　∴△CBP與△ABE重合 　　∴△CBP≌△ABE 　　解　(3)連接PE 　　∵BE＝BP　∠PBE＝90° 　　∴∠BPE＝45° 　　設AP為k，則BP＝BE＝2k 　　∴∴ 　　∵∠BPA＝135°　∠BPE＝45° 　　∴∠APE＝90°∴AE＝3k 　　在直角△APE中：．