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四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點O．求證：AC+BD＞
1
2
（AB+BC+CD+DA）．
證明：在△OAB中有OA+OB＞AB
在△OAD中有
OA+OD＞AD
OA+OD＞AD
，
在△ODC中有
OD+OC＞CD
OD+OC＞CD
，
在△
OBC
OBC
中有
OB+OC＞BC
OB+OC＞BC
，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即：
2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA
2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA
，
即：AC+BD＞
1
2
（AB+BC+CD+DA）
分析：直接根據三角形的三邊關系進行解答即可．
解答：證明：∵在△OAB中OA+OB＞AB
在△OAD中有OA+OD＞AD，
在△ODC中有OD+OC＞CD，
在△OBC中有OB+OC＞BC，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，
即AC+BD＞
1
2
（AB+BC+CD+DA）．
故答案為：OA+OD＞AD；OD-OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．
點評：本題考查的是三角形的三邊關系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

操作1：如圖1，一三角形紙片ABC，分別取AB、AC的中點D、E，連接DE，沿DE將紙片剪開，并將其中的△ADE紙片繞點E旋轉180°后可拼合（無重疊無縫隙）成平行四邊形紙片BCFD．
操作2：如圖2，一平行四邊形紙片ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD邊的中點，沿EF剪開并將其中的△BFE紙片繞點E旋轉180°到△AF1E位置；沿HG剪開并將其中的△DGH紙片繞點H旋轉180°到△AG1H位置；沿FG剪開并將△CFG紙片放置于△AF1G1的位置，此時四張紙片恰好拼合（無重疊無縫隙）成四邊形FF1G1G．則四邊形FF1G1G的形狀是
 
．
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操作、思考并探究：
（1）如圖3，如果四邊形ABCD是任意四邊形（不是梯形或平行四邊形）的紙片，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點．依次沿EF、FG、GH、HE剪開得到四邊形紙片EFGH．請判斷四邊形紙片EFGH的形狀，并說明理由．
（2）你能將上述四邊形紙片ABCD經過恰當地剪切后拼合（無重疊無縫隙）成一個平行四邊形紙片？請在圖4上畫出對應的示意圖．
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（3）如圖5，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面積分別為S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，則四邊形ABCD是面積是
 
．（不要求說明理由）

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科目：初中數學 來源： 題型：

（1）如圖，如果四邊形ABCD是任意四邊形（不是梯形或平行四邊形）的紙片，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點．依次沿EF、FG、GH、HE剪開得到四邊形紙片EFGH．請判斷四邊形紙片EFGH的形狀，并說明理由．
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（2）你能將上述四邊形紙片ABCD經過恰當地剪切后拼合（無重疊無縫隙）成一個平行四邊形紙片嗎？請在圖上畫出對應的示意圖．
（3）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，若△AEH，△BEF，△CFG，△DGH的面積分別為S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，則四邊形ABCD是面積是
 
．（不要求說明理由）

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD是任意四邊形，過點A，C作BD的平行線，再過點B、D作AC的平行線，設四條直線的交點為P，Q，M，N．
（1）按要求補全圖形，并判斷四邊形PQMN的形狀．
（2）圖中有多少個平行四邊形？設四邊形ABCD的面積為4，則四邊形PQMN的面積為多少？
（3）如果AC⊥BD，則四邊形PQMN是什么四邊形？若AC=BD，則四邊形PQMN是什么四邊形？若四邊形PQMN是正方形，則AC與BD應滿足什么條件？

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科目：初中數學 來源： 題型：填空題

四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點O．求證：AC+BD＞數學公式（AB+BC+CD+DA）．
證明：在△OAB中有OA+OB＞AB
在△OAD中有________，
在△ODC中有________，
在△________中有________，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即：________，
即：AC+BD＞數學公式（AB+BC+CD+DA）

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