Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得： ，
解之得：
∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3
∵對(duì)稱軸為x=-1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，
得 ，
解之得： ，
∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3
（2）解：設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小．
把x=-1代入直線y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2），
即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（-1，2）
（3）解：如圖：

設(shè)P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2 ，
PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，
①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2=PC2
即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；
②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2=PB2
即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2=BC2
即：4+t2+t2-6t+10=18解之得：t1= ，t2= ；
綜上所述P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-1，4）或（-1， ） 或（-1， ）．
【解析】先把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；
設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；
設(shè)P（-1，t），又因?yàn)锽（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2 ， PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．