【題目】已知點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB,AC所在直線的距離相等,且OB=OC.

(1)如圖1,若點(diǎn)O在邊BC上,求證:∠ABC=∠ACB;

(2)如圖2,若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,則∠ABC=∠ACB成立嗎?并說(shuō)明理由;

(3)若點(diǎn)O在△ABC的外部,則∠ABC=∠ACB成立嗎?請(qǐng)畫(huà)圖表示.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)HLRtOEBRtOFC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABC=ACB,即可得出答案;

(2)根據(jù)HLRtOEBRtOFC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠EBO=FCO,即可得出答案;

(3)畫(huà)出符合條件的兩種情況:圖③和圖④,根據(jù)HLRtOEBRtOFC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠EBO=FCO,即可得出答案.

(1)證明:如圖1,

過(guò)OOEABE,OFACF,

則∠OEB=OFC=90°,

∵點(diǎn)OABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,

OE=OF,

RtOEBRtOFC中,

RtOEBRtOFC(HL),

∴∠ABC=ACB;

(2)證明:如圖2,過(guò)OOEABE,OFACF,

則∠OEB=OFC=90°,

∵點(diǎn)OABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,

OE=OF,

RtOEBRtOFC

RtOEBRtOFC(HL),

∴∠ABO=ACO,

∵∠OBC=OCB,

∴∠ABC=ACB;

(3)解:若O點(diǎn)在ABC的外部,∠ABC=ACB不一定成立,

理由是:①當(dāng)∠A的平分線和BC的垂直平分線重合時(shí),如圖3,

過(guò)OOEABAB的延長(zhǎng)線于E,OFACAC的延長(zhǎng)線于F,

則∠OEB=OFC=90°,

∵點(diǎn)OABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,

OE=OF,

RtOEBRtOFC

RtOEBRtOFC(HL),

∴∠EBO=FCO,

OB=OC,

∴∠OBC=OCB,

∵∠ABC=180°-(OBC+EBO),ACB=180°-(OCB+FCO),

∴∠ABC=ACB;

②當(dāng)∠A的平分線和BC的垂直平分線不重合時(shí),如圖④,

此時(shí)∠ABC和∠ACB不相等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在坐標(biāo)軸上,其坐標(biāo)分別為(2,0),(0,4),對(duì)角線AC⊥x軸.
(1)求直線DC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式
(2)若反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象經(jīng)過(guò)DC的中點(diǎn)M,請(qǐng)判斷這個(gè)反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,并說(shuō)明理由.

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(1)直接寫出點(diǎn)BC的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),在邊OC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向C點(diǎn)移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),在邊BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向A點(diǎn)移動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng),設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘,探究下列問(wèn)題:

當(dāng)t值為多少時(shí),直線PQy軸?

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,能否使得四邊形BCPQ的面積是長(zhǎng)方形OABC的面積的?若能,請(qǐng)直接寫出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,說(shuō)明理由

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【題目】為了更好治理和凈化運(yùn)河,保護(hù)環(huán)境,運(yùn)河綜合治理指揮部決定購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)備.現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)的設(shè)備,其中每臺(tái)的價(jià)格、月處理污水量如下表.經(jīng)調(diào)查:購(gòu)買一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)B型設(shè)備多2萬(wàn)元,購(gòu)買2臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)B型設(shè)備少6萬(wàn)元.

A

B

價(jià)格(萬(wàn)元/臺(tái))

處理污水量(/)

220

180

(1)的值;

(2)由于受資金限制,運(yùn)河綜合治理指揮部決定購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金既不少于108萬(wàn)元也不超過(guò)110萬(wàn)元,問(wèn)有哪幾種購(gòu)買方案?每月最多能處理污水多少噸?

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【題目】某校七年級(jí)有400名學(xué)生,在一次生物測(cè)驗(yàn)后,為了解本次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)情況,從中隨機(jī)取了部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制了如下圖表:

等級(jí)

分?jǐn)?shù)

頻數(shù)

頻率

A

90≤x≤100

6

0.15

B

80≤x<90

20

a

C

70≤x<80

b

0.2

D

60≤x<70

c

0.15

合計(jì)

1

請(qǐng)你根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:

(1)a= , b= , c= , 并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)請(qǐng)你估計(jì)該校七年級(jí)共有多少名學(xué)生本次成績(jī)不低于80分;
(3)現(xiàn)從樣本中的A等和D等學(xué)生中各隨機(jī)選取一名同學(xué)組成互助學(xué)習(xí)小組,則直接寫出兩名同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的概率.

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月份

用水量/m3

水費(fèi)/元

4

16

50

5

20

70


(1)求該市居民用水的兩種收費(fèi)價(jià)格;
(2)若該居民6月份交水費(fèi)80元,那么該居民這個(gè)月水量為m3

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1)請(qǐng)你用兩種不同的方法計(jì)算出正方形ABCD的面積;

方法一:

方法二:

2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,你能得到怎么樣的結(jié)論?

3)請(qǐng)用文字語(yǔ)言描述(2)中的結(jié)論.

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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0)、C(0,3),與x軸交于另一點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求此二次函數(shù)解析式;
(2)連接DC、BC、DB,求證:△BCD是直角三角形;
(3)在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC為等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,4),B(-3,1),C(-34),△A1B1C1是由△ABC繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的.

(1)請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是________,旋轉(zhuǎn)角是_____°;

(2)△ABC平移得到△A2B2C2,使得點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(0-1),請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A2B2C2,并求出平移的距離.

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