Question

已知拋物線y=-ax²+2ax+b與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)C．
（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ABM和△ABC的面積相等（△ABM與△ABC重合除外）？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△BCN的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值和點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式，對(duì)稱軸x=-=1；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時(shí)，△ABC為直角三角形，已知OA=1，OB=3，由△AOC∽△COB，利用相似比可求OC，即C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知在對(duì)稱軸右側(cè)也存在這樣的一個(gè)點(diǎn)；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸下側(cè)，存在兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)分別到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離；
（4）設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n），過點(diǎn)N作ND⊥AB于點(diǎn)D，結(jié)合題意，用含m或n的式子表示出三角形面積，根據(jù)二次函數(shù)最值的性質(zhì)即可得出面積的最大值．和此時(shí)N的值；
解答：解：（1）對(duì)稱軸是：直線x=1；
點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）．（2分）

（2）由∠ACB=∠AOC=∠COB=90°得△AOC∽△COB，
∴，
∴CO=，
∴b=
當(dāng)x=-1，y=0時(shí)，-a-2a+=0，
∴a=，（4分）
∴y=-；

（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)是：（2，），（1+，-）或（1-，-）；（8分）

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n），則，
過點(diǎn)N作ND⊥AB于點(diǎn)D，則有：

=（10分）
∵＜0，
∴當(dāng)時(shí)，△BCN的面積最大，
最大值是，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線對(duì)稱軸公式，拋物線對(duì)稱性的運(yùn)用，待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法．綜合運(yùn)用了圓的對(duì)稱性，直角三角形中的相似三角形的問題．