Question

如圖，拋物線y=a(x-1)2-

4 3

3

經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C在y軸上，且BC∥x軸．
（1）求a的值；
（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）探究：
①若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC周長(zhǎng)的最小值；
②若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸且在直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使△PAB是等腰三角形．若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可得出a的值；
（2）本題需先根據(jù)x=0，得出AC=2，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出BC的值，從而證出AC=BC，即可得出△ABC是等腰三角形；
（3）①本題須先根據(jù)題意得出直線AB與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，△PAC周長(zhǎng)的最小，再求出AC+AB的值即可；
②本題需分當(dāng)PA=AB時(shí)，當(dāng)PB=AB時(shí)，當(dāng)PA=PB時(shí)三種情況進(jìn)行討論即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（-1，0）代入拋物線y=a(x-1)2-

4 3

3

，
得：0=a(-1-1)2-

4 3

3

，
解得a=

3

3

；

（2）△ABC是等腰三角形，
令x=0，則y=

3

3

(0-1)2-

4 3

3

=-

3

，
∴點(diǎn)C（0，-

3

），
∴在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=2，
由對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)B（2，-

3

），
∴BC=2，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（3）①由于點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
所以取直線AB與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，
△PAC周長(zhǎng)的最小，△PAC周長(zhǎng)=AC+AB=2+2

3

，
②當(dāng)PA=AB時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，2

2

)，
當(dāng)PB=AB時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，

11

-

3

)，
當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，在解題時(shí)要能靈活應(yīng)用二次函數(shù)和等腰三角形的有關(guān)知識(shí)和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．