Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，點(diǎn)P在邊BC上移動(dòng)，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF+GH=5cm；
（2）求當(dāng)∠APD=90°時(shí)，

EF

GH

的值．

Answer 1

分析：E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DC的中點(diǎn)，則EF，GH分別是△ABP，△DCP的中位線，得到EF+GH=

1

2

BC；
根據(jù)∠APD=90°，利用勾股定理得到AD²=AP²+DP²=AB²+BP²+PC²+DC²=BP²+（BC-BP）²+2AB²=BP²+（10-BP）²+32，就得到關(guān)于BP的方程，從而求出BP的長(zhǎng)，因而根據(jù)中位線定理求出EF，GH的長(zhǎng)，從而求出比值．

解答：（1）證明：∵矩形ABCD，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm．
∵E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DC的中點(diǎn)，
∴EF+GH=

1

2

BP+

1

2

PC=

1

2

BC．
∴EF+GH=5cm．

（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
又∵∠APD=90°，
在直角△APD中，AD²=AP²+DP²，
同理，AP²=AB²+BP²，PD²=PC²+CD²=PC²+AB²，
∴AD²=AP²+DP²=AB²+BP²+PC²+DC²=BP²+（BC-BP）²+2AB²=BP²+（10-BP）²+32，
即100=2BP²-20BP+100+32，
解得BP=2或8（cm），
當(dāng)BP=2時(shí)，PC=8，EF=1，GH=4，這時(shí)

EF

GH

=

1

4

，
當(dāng)BP=8時(shí)，PC=2，EF=4，GH=1，這時(shí)

EF

GH

=4，
∴

EF

GH

的值為

1

4

或4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的中位線定理．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．