Question

如圖，拋物線與直線交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為。點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由。

（3）若存在點(diǎn)P，使，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)m=1或2或時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由見解析；（3）P（）或（）.

【解析】

試題分析：（1）由直線經(jīng)過點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；由拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）因?yàn)镻F∥CO，所以當(dāng)PF=CO時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分和兩種情況討論即可；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD上方且∠PCF=45⁰時(shí)，作PM⊥CD于點(diǎn)M，CN⊥PF于點(diǎn)N，則△PMF∽△CNF，∴，∴PM=CM=2CF，∴，又∵，∴，解得：，（舍去），∴P（），當(dāng)點(diǎn)P在CD下方且∠PCF=45⁰時(shí)，同理可以求得：另外一點(diǎn)為P（）.

試題解析：（1）∵直線經(jīng)過點(diǎn)C，∴C（0，2）.

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），D ，

∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m且在拋物線上， ∴.

∵PF∥CO，∴當(dāng)PF=CO時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

當(dāng)時(shí)，，

∴，解得：.

即當(dāng)m=1或2時(shí)，四邊形OCPF是平行四邊形.

當(dāng)時(shí)，，

∴，解得：（∵點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，∴舍去）.

即當(dāng)時(shí)，四邊形OCFP是平行四邊形.

綜上所述，當(dāng)m=1或2或時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

（3）P（）或（）.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.單動(dòng)點(diǎn)問題；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.平行四邊形的性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.分類思想的應(yīng)用.