Question

如圖，拋物線與直線交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為。點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由；

（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45⁰，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）平行四邊形（3）P（）或（）

【解析】解：（1）∵直線經(jīng)過點(diǎn)C，∴C（0，2）。

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），D ，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為。

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m且在拋物線上，

∴。

∵PF∥CO，∴當(dāng)PF=CO時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。

當(dāng)時，，

∴，解得：。

即當(dāng)m=1或2時，四邊形OCPF是平行四邊形。

當(dāng)時，，

∴，解得：（∵點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，∴舍去）

即當(dāng)時，四邊形OCFP是平行四邊形。

綜上所述，當(dāng)m=1或2或時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。

（3）P（）或（）。

（1）由直線經(jīng)過點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；由拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。

（2）因?yàn)镻F∥CO，所以當(dāng)PF=CO時，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分和兩種情況討論即可。

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD上方且∠PCF=45⁰時，

作PM⊥CD于點(diǎn)M，CN⊥PF于點(diǎn)N，則△PMF∽△CNF，

∴�！郟M=CM=2CF。

∴。

又∵，∴。

解得：，（舍去）。

∴P（）。

當(dāng)點(diǎn)P在CD下方且∠PCF=45⁰時，

同理可以求得：另外一點(diǎn)為P（）。