Question

已知：如圖，在⊙O中，點A、B在圓上，BC∥OA，交⊙O于點D，且OC⊥OB，．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若OB=1，求BD的長．

Answer 1

（1）證法一：∵BC∥OA，

∴∠AOC=∠OCB．  …………………………………… 1分

又∵∠OCA=∠B，

∴∽．

∴∠CAO=∠BOC．

∵OC⊥OB，

∴∠BOC=90°．

∴∠CAO=90°．  ………………………………………… 2分

又∵OA是半徑，

∴AC是⊙O的切線．  …………………………………… 3分

證法二：∵OC⊥OB，

∴∠OCB+∠B =90°．

∵BC∥OA，

∴∠AOC=∠OCB．  …………………………………… 1分

又∵∠OCA=∠B，

∴∠AOC+∠OCA =90°．

∴∠CAO=90°．  ………………………………………… 2分

又∵OA是半徑，

∴AC是⊙O的切線．  …………………………………… 3分

（2）解：過點O作OE⊥BC于點E．

可得，四邊形ACEO是矩形，DE=BE．

∴CE=OA=OB=1．  ……………… 4分

設(shè)BE=x，則BC = CE+BE= 1+ x．

∵∠BOC=∠BEO =90°，∠B=∠B，

∴∽．

∴．

即．

∴．

解得  （舍負）．     ∴．  …… 5分

∴．  ……………………………………… 6分