Question

（2012•密云縣一模）已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=30°，D是AB 邊上一點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O恰過點(diǎn)C．
（1）求證：BC所在直線是⊙O的切線；
（2）若AD=2

3

，求弦AC的長．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OC，欲證BC所在直線是⊙O的切線，只需證明OC⊥BC即可；
（2）連接CD，構(gòu)建Rt△ACD，在該直角三角形中利用余弦三角函數(shù)的定義來求弦AC的長度．

解答：解：（1）證明：如圖，連接OC．
則 OC=OA，∠ACO=∠A=30°． 
在△ABC中，∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=120°．
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°，
∴OC⊥BC．
∴BC是⊙O的切線；

（2）連接CD．∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AD=2

3

，
∴AC=AD•cosA=2

3

×

3

2

=3，
即弦AC的長為3．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定、解直角三角形．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．