Question

（2011•鎮(zhèn)海區(qū)模擬）△OAB是直角三角形，∠AOB=30°，過(guò)A作AP⊥OB于P，在AP延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，使∠BOC=30°；過(guò)P作PQ⊥OC于P，在PQ延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使∠COD=30°；…；按此方法操作，最終得到△OMN，此時(shí)ON在OA上．若AB=2a，則ON=

4×（

3

2

）¹¹a

．（可用式子表示）

Answer 1

分析：利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)和AB=2a，求得OP的長(zhǎng)，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后可以求得OQ的長(zhǎng)，直至線段ON與線段OA重合，一共旋轉(zhuǎn)了12次，從而可以求得ON的長(zhǎng)．

解答：解：∵∠A=90°，∠AOB=30°，AB=2a，
∴BO=4a，OC=OA=

3

2

×4a，
∵OP為等邊三角形的高，且等邊三角形的邊長(zhǎng)為

3

2

×4a，
∴OD=OP=（

3

2

）²×4a，
以此類推，當(dāng)ON與OA重合時(shí)，一共旋轉(zhuǎn)了12次，
∴ON的長(zhǎng)為（

3

2

）¹¹×4a=4×（

3

2

）¹¹a．
故答案為：4×（

3

2

）¹¹a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地得到一共旋轉(zhuǎn)了多少次．