Question

14．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正三角形OAB的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)
（2）如圖，將△OAB沿O到A的方向平移4個(gè)單位至△O′A′B′的位置，即AA′=4，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)
（3）如圖，將△OAB沿O到A的方向平移n個(gè)單位至△O′A′B′的位置，若平移后的B′點(diǎn)橫坐標(biāo)為2017，求n的值．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥x軸于點(diǎn)M．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OM=$\frac{1}{2}$OA=1，AM=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，則A的坐標(biāo)可求；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可知當(dāng)AA′=4時(shí)，OO′=4，連結(jié)O′B，由OA=O′A=AB=2，得出∠O′BO=90°，再解直角△OO′B，得出OB=$\frac{1}{2}$OO′=2，O′B=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，進(jìn)而求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（3）過(guò)O′作x軸的垂線，垂足為P．解直角△OO′P，得出OP=$\frac{1}{2}$OO′=$\frac{1}{2}$n，根據(jù)平移后的B′點(diǎn)橫坐標(biāo)為2017，列出方程$\frac{1}{2}$n+2=2017，求解即可．

解答 解：（1）如圖，作AM⊥x軸于點(diǎn)M．
∵正三角形OAB的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=1，AM=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，
∴A（1，$\sqrt{3}$）；

（2）當(dāng)AA′=4時(shí)，OO′=4，連結(jié)O′B，如圖，
∵OA=O′A=AB=2，
∴∠O′BO=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$OO′=2，O′B=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2+2，2$\sqrt{3}$），即（4，2$\sqrt{3}$）；

（3）如圖，將△OAB沿O到A的方向平移n個(gè)單位至△O′A′B′的位置，即AA′=n，
∴OO′=n．
如下圖，過(guò)O′作x軸的垂線，垂足為P．

在△OO′P中，∵∠O′PO=90°，∠OO′P=30°，OO′=n，
∴OP=$\frac{1}{2}$OO′=$\frac{1}{2}$n，
∵平移后的B′點(diǎn)橫坐標(biāo)為2017，O′B′=2，
∴$\frac{1}{2}$n+2=2017，
∴n=4030．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同．平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．也考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)．求出OB′的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．