Question

如圖，點(diǎn)A（4，m）在一次函數(shù)y=2x-4和二次函數(shù)y=ax²的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作直線y=n的垂線，垂足為E，點(diǎn)E關(guān)于直線y=2x-4的對(duì)稱點(diǎn)F在y軸上，點(diǎn)C是直線y=2x-4與y軸的交點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）求實(shí)數(shù)n的值；
（3）二次函數(shù)y=ax²的圖象上是否存在一點(diǎn)P，且滿足PA=PC？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)A（4，m）在一次函數(shù)y=2x-4和二次函數(shù)y=ax²的圖象上，代入首先求得m的值，進(jìn)而確定A坐標(biāo)的具體值，再代入確定a的值．此時(shí)二次函數(shù)解析式確定．
（2）過(guò)E作AC的垂線EF交y軸于點(diǎn)F．由（1）知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，n），并設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，k）．根據(jù)EF垂直于AC寫(xiě)出EF的斜率，再根據(jù)E、F點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出直線EF關(guān)于n、k的表達(dá)式．根據(jù)AF=AE，根據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)A、E、F寫(xiě)出關(guān)于n、k的表達(dá)式．聯(lián)立解得n的值．
（3）設(shè)存在P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，）．根據(jù)C是直線y=2x-4與y軸的交點(diǎn)確定出C點(diǎn)的坐標(biāo)．利用PA=PC與兩點(diǎn)間的距離公式求出t的值，代入即可求出P點(diǎn)的具體值．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A（4，m）在一次函數(shù)y=2x-4圖象上
∴m=2×4-4=4，即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4）
∵點(diǎn)A（4，4）二次函數(shù)y=ax²的圖象上
∴4=a×4²，即a=
∴二次函數(shù)解析式是

（2）由（1）知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，n）
設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，k），由M點(diǎn)在直線AC上可知M（，n），
則EM=4-=，AE=4-n，
∵直線EF⊥AC，∴△EFG∽△AME，
∴=，即=，解得FG=2，
由AF=AE，得=4-n，解得n=-1；

（3）設(shè)存在P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，）
∵點(diǎn)C是直線y=2x-4與y軸的交點(diǎn)
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）
∵PA=PC
∴?t²+2t-4=0，解得t=或t=
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+，）或（-1-，）
答：y=x²；n=-1；P（-1+，）或（-1-，）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、一次函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．